Gọi $AM,{\rm{ }}BN,{\rm{ }}CE$ là ba đường trung tuyến của tam giác $ABC.$

\(\Delta ABC\) vuông tại $A$ nên theo định lí Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\,\,\, \Rightarrow B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\\ \Rightarrow BC = 13cm\end{array}$

Ta có $AM,{\rm{ }}BN,{\rm{ }}CE$ là các đường trung tuyến ứng với các cạnh $BC,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}AB$ của tam giác vuông $ABC$

Suy ra $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}AB.$

$ \Rightarrow AN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6\,cm\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{AE}} = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} \cdot 5 = 2,5\,cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác $ABN$ vuông tại $A$ ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{N^2} = B{N^2} \Rightarrow {5^2} + {6^2} = B{N^2} \Rightarrow B{N^2} = 61\\ \Rightarrow BN = \sqrt {61} \,cm\end{array}$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác AEC vuông tại A ta có:

$\begin{array}{l}A{E^2} + A{C^2} = C{E^2}\,\, \Rightarrow 2,{5^2} + {12^2} = C{E^2}\, \Rightarrow C{E^2} = \dfrac{{601}}{4}\\ \Rightarrow CE = \dfrac{{\sqrt {601} }}{2}cm\end{array}$

Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A,{\rm{ }}AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên ta có:

\( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} \cdot 13 = \dfrac{{13}}{2}\,cm\)

Ta có : \(GA + \,GB + \,GC = \dfrac{2}{3}AM + \dfrac{2}{3}BN + \dfrac{2}{3}CE = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CE)\) (do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ )

\( \Rightarrow GA + \,GB + \,GC = \dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{{13}}{2} + \sqrt {61} + \dfrac{{\sqrt {601} }}{2}} \right) \approx 17,71\,cm\)