Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Ta có \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} \)\( = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)\)

Chọn điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\)

Mà \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 3\,\overrightarrow {IG} .\)

Khi đó \(9\,\overrightarrow {IG} + \overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {CA} \) \(\left( * \right)\)

Do đó \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {9\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) \( \Leftrightarrow 9MI = AB\)

Vì \(I\) là điểm cố định thỏa mãn \(\left( * \right)\) nên tập hợp các điểm \(M\) cần tìm là đường tròn tâm \(I,\) bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{9} = \dfrac{a}{9}.\)