Phương pháp giải:

a)     Áp dụng công thức: \(\sqrt{{{a}^{2}}b}=a\sqrt{b}\left( a,b\ge 0 \right)\)

b)     Áp dụng công thức : \(\sqrt{{{a}^{2}}}=|a|\)

c)     Sử dụng biểu thức liên hợp và công thức \(\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\left( a,b\ge 0 \right)\) để rút gọn phân số.

d)     Sử dụng biểu thức liên hợp để quy đồng mẫu số hai phân số

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & a)\ \ 2\sqrt{75}-3\sqrt{27}-\frac{1}{4}\sqrt{192}=2\sqrt{{{5}^{2}}.3}-3\sqrt{{{3}^{2}}.3}-\frac{1}{4}\sqrt{{{8}^{2}}.3} \\  & \ \ =2.5\sqrt{3}-3.3\sqrt{3}-\frac{1}{4}.8\sqrt{3}=-\sqrt{3}. \\ \end{align}\)

Vậy \(2\sqrt{75}-3\sqrt{27}-\frac{1}{4}\sqrt{192}=-\sqrt{3}\)

\(\begin{align}  & b)\ \ \sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+2\sqrt{3}+1}+\left| \sqrt{3}-2 \right| \\  & \ \ \ =\sqrt{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}}+\left| \sqrt{3}-2 \right|=\sqrt{3}+1+2-\sqrt{3}=3.\ \ \ \left( do\ \ 2>\sqrt{3} \right) \\ \end{align}\)

Vậy \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}=3\)

\(\begin{align}  & c)\ \frac{\sqrt{15}-\sqrt{12}}{\sqrt{5}-2}-\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\left( \sqrt{5}-\sqrt{4} \right)}{\sqrt{5}-2}-\frac{2+\sqrt{3}}{\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)} \\  & \ \ =\frac{\sqrt{3}\left( \sqrt{5}-2 \right)}{\sqrt{5}-2}-\frac{2+\sqrt{3}}{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{3}-\left( 2+\sqrt{3} \right)=-2. \\ \end{align}\)

Vậy \(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{12}}{\sqrt{5}-2}-\frac{1}{2-\sqrt{3}}=-2\) .

\(\begin{align}  & d)\ \left( \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} \right).\left( \sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}} \right)\ \ \ \ \left( x>0;x\ne 4 \right) \\  & =\left[ \frac{{{\left( \sqrt{x}-2 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-2 \right).\left( \sqrt{x}+2 \right)}-\frac{{{\left( \sqrt{x}+2 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)} \right].\left( \sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}} \right) \\  & =\frac{x-4\sqrt{x}+4-x-4\sqrt{x}-4}{x-4}.\frac{x-4}{\sqrt{x}} \\ & =\frac{-8\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=-8. \\ \end{align}\)

Vậy \(\left( \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} \right).\left( \sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}} \right)=-8\)  

Chọn A