Phương pháp giải:

Phương pháp:

Câu a: Tìm ĐKXĐ cần đặt các điều kiện sau: \(\frac{a}{f\left( x \right)}:\,\,\,f\left( x \right)\ne 0;\,\,\,\,\sqrt{f\left( x \right)}:\,\,\,f\left( x \right)\ge 0;\,\,\,\,\frac{b}{\sqrt{f\left( x \right)}}:\,\,f\left( x \right)>0.\)

Câu b:  Xét xem giá trị x đề bài cho có thỏa mãn ĐKXĐ hay không.

+) Nếu giá trị x đó thỏa mãn, biến đổi đơn giản x sau đó thay giá trị x đó vào biểu thức  P vừa rút gọn để tính giá trị của biểu thức P.

Câu c:   Thay biểu thức P vừa rút gọn được và giải bất phương trình.

+) Ta có:  \(\frac{A}{B} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A < 0\\B < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) và \(\frac{A}{B} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A < 0\\B > 0\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Giải:

a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\left[ {\frac{2}{x} - \frac{{2 - x}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{2\sqrt x + 2 - 2 + x}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + 2\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}.\frac{x}{{x + 2\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x - 1}}.\end{array}\)

b) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{align} & x>0 \\  & x\ne 1 \\ \end{align} \right..\)

 \(\begin{align}  & x=\frac{19}{2\sqrt{5}-1}-\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\frac{19\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}{\left( 2\sqrt{5}-1 \right)\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}-\sqrt{20-2.2\sqrt{5}.3+9} \\  & \,\,\,\,=\frac{19\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}{{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}-1}-\sqrt{{{\left( 2\sqrt{5}-3 \right)}^{2}}}=\frac{19\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}{19}-\left| 2\sqrt{5}-3 \right| \\  & \,\,\,\,=2\sqrt{5}+1-\left( 2\sqrt{5}-3 \right)\,\,\,\,\,\,\left( do\,\,\,2\sqrt{5}>3 \right) \\  & \,\,\,\,=2\sqrt{5}+1-2\sqrt{5}+3=4. \\ \end{align}\)

Ta thấy \(x=4\) thỏa mãn ĐKXĐ. Thay \(x=4\) vào biểu thức P thu gọn được ở câu a ta có:

\(P=\frac{4}{\sqrt{4}-1}=\frac{4}{2-1}=\frac{4}{1}=4.\)

Vậy với \(x=\frac{19}{2\sqrt{5}-1}-\sqrt{29-12\sqrt{5}}\) thì \(P=4.\)

c) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{align}  & x>0 \\  & x\ne 1 \\ \end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,P > 4 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt x - 1}} > 4\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - 4 > 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 1}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 \ne 0\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} \ge 0} \right)\\\sqrt x - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \ne 2\\\sqrt x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 4\\x > 1\end{array} \right..\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được \(x>1\) và \(x\ne 4\) thỏa mãn điều kiện bài toán.