Câu hỏi
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục và nhận giá trị dương trên [0 ; 1]. Biết \(f(x) \cdot f(1 - x) = 1\) với \(\forall x \in [0;1]\). Tính giá trị \(I = \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f(x)}}} \).
- A \(\frac{3}{2}\)
- B \(\frac{1}{2}\).
- C 1
- D 2
Phương pháp giải:
Đặt x=1-t
Sử dụng phương pháp đổi biến.
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân tìm \(f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \)
Đặt x=1-t
\( \Rightarrow dx = - dt\)
Đổi cận
\(\begin{array}{l} = > I = \int\limits_1^0 {\frac{{ - dt}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + \frac{1}{{f\left( t \right)}}}}} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} \end{array}\)
Mà \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \)
Vậy \(\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}} = \frac{1}{{1 + f\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1\)
\( \Rightarrow I = 1\).
Câu hỏi trước
