Câu hỏi
Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - mx - 4\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
- A \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ { - \dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\)
- B \(m \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{4}} \right]\)
- C \(m \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{4}} \right]\)
- D \(m \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{4}} \right)\)
Phương pháp giải:
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - mx - 4\\ \Rightarrow y' = {x^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - m\\ \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - m \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m + 1} \right)^2} + m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 + m \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 5m + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le m \le - \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Vậy \(m \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{4}} \right]\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
