Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

Ta có: \(8 - x\sqrt x  = 8 - {\left( {\sqrt x } \right)^3} = \left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {4 + 2\sqrt x  + x} \right).\)

và \(1 - \frac{2}{{2 + \sqrt x }} = \frac{{2 + \sqrt x  - 2}}{{2 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\).

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2 - \sqrt x  \ne 0\\8 - x\sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left[ {\frac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + 3}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x  + 32}}{{8 - x\sqrt x }}} \right]:\left( {1 - \frac{2}{{2 + \sqrt x }}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {x + 4\sqrt x  + 4} \right)}}{{x + 2\sqrt x  + 1 + 3}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x  + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{2 + \sqrt x  - 2}}{{2 + \sqrt x }}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{x\sqrt x  + 4x + 4\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x  + 4}} - \frac{4}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x  + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {x\sqrt x  + 4x + 4\sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right) - 4\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right) + 8\sqrt x  + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 2x\sqrt x  - {x^2} + 4x + 8\sqrt x  - 4x - 8\sqrt x  - 16 + 8\sqrt x  + 32}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - {x^2} - 2x\sqrt x  + 8\sqrt x  + 16}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {8 - x\sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của \(P\)  khi \(x = 9 - 4\sqrt 5 .\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Với \(x = 9 - 4\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2.\sqrt 5 .2 + {2^2} = {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 5  - 2} \right| = \sqrt 5  - 2\,\,\left( {do\,\,\sqrt 5  > 2} \right).\\ \Rightarrow P = \frac{{{{\left( {\sqrt 5  - 2 + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt 5  - 2}} = \frac{5}{{\sqrt 5  - 2}} = \frac{{5\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}{{5 - 4}} = 5\sqrt 5  + 10.\end{array}\)

c) Tìm các giá trị chính phương của \(x\)  để \(P\)  có giá trị nguyên.

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Ta có: \(P = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 4 + \frac{4}{{\sqrt x }}.\)

Vì \(x\)  là số chính phương \( \Rightarrow x \in N;\,\,\sqrt x  \in N.\)

\(P\)  có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x }} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x  \in U\left( 4 \right) \Leftrightarrow \sqrt x  \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,4} \right\}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x > 0,x \ne 4\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1\\\sqrt x  = 2\\\sqrt x  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 16\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy với các giá trị \(x = 1\)  hoặc \(x = 16\)  thì \(P\)  đạt giá trị nguyên.