Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Giải phương trình \(P = \frac{1}{2},\) tìm \(x\) rồi đối chiều với điều kiện sau đó kết luận.

+) Dựa vào điều kiện của \(x\) để chứng mình \(P \le \frac{2}{3}.\)

Lời giải chi tiết:

\(P = \frac{{15\sqrt x  - 11}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} + \frac{{3\sqrt x  - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 3}}\)

a) Rút gọn \(P.\)

Điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{15\sqrt x  - 11}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} + \frac{{3\sqrt x  - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 3}}\\ = \frac{{15\sqrt x  - 11}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \frac{{3\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{2\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 3}}\\ = \frac{{15\sqrt x  - 11}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \frac{{\left( {3\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{15\sqrt x  - 11 - \left( {3x + 9\sqrt x  - 2\sqrt x  - 6} \right) - \left( {2x - 2\sqrt x  + 3\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{15\sqrt x  - 11 - 3x - 7\sqrt x  + 6 - 2x - \sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \frac{{ - 5x + 7\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\left( { - 5\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{ - 5\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị của \(x\)  để  \(P = \frac{1}{2}.\)

Với điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1.\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 5\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\left( { - 5\sqrt x  + 2} \right) = \sqrt x  + 3\\ \Leftrightarrow  - 10\sqrt x  + 4 - \sqrt x  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow  - 11\sqrt x  =  - 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{121}}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{1}{{121}}\)  thì  \(P = \frac{1}{2}.\)

c) Chứng minh \(P \le \frac{2}{3}\)

Ta có: \(P = \frac{{ - 5\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 3}}\)

Với  \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\)  ta có: \(\sqrt x  + 3 \ge 3\)

\(5\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow  - 5\sqrt x  \le 0 \Rightarrow  - 5\sqrt x  + 2 \le 2\)

Khi đó ta có: \(P \le \frac{2}{3}\)

Vậy \(x \ge 0,x \ne 1\) thì  \(P \le \frac{2}{3}.\)