Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\overrightarrow {MA}  + 4\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0$

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị $\overrightarrow {AM}$  theo hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh $\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {MN}  = \;\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} .$

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .$

Cho tam giác ABC

a) Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM}$

Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}}$ như hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}}$ biết $\overrightarrow {{F_1}}$ có độ lớn là 20N.

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b .$ Biểu diễn các vecto $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE}$ theo $\overrightarrow a ,\overrightarrow b .$

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\overrightarrow {DB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\;\overrightarrow {AE}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {AH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .$

a) Biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {HE}$ theo hai vecto $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} .$

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO}$

b) $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AC}$

Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng

a)  $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN}$

b)  $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}$

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MG}$

Máy bay A  đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow b$của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow a$ của máy bay A

Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho $\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = 4\overrightarrow {MO}$

Cho tam giác $ABC.$ Gọi $D,\,\,E$ tương ứng là trung điểm của $BC,\,\,CA.$ Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {CA}$ theo các vectơ $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BE} .$

Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $M,\,\,N$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AB,\,\,CD.$ Lấy $P$ thuộc đoạn $DM$ và $Q$ thuộc đoạn $BN$ sao cho $DP = 2PM,\,\,BQ = xQN.$ Đặt $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow v .$

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {AQ}$ qua hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v .$

b) Tìm $x$ để $A,\,\,P,\,\,Q$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ với trọng tâm $G.$ Lấy điểm $A',\,\,B'$ sao cho $\overrightarrow {AA'}  = 2\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {BB'}  = 2\overrightarrow {CA} .$ Gọi $G'$ là trọng tâm của tam giác $A'B'C.$ Chứng minh rằng $GG'$ song song với $AB.$

Cho tứ giác lồi $ABCD,$ không có hai cạnh nào song song. Gọi $E,\,\,F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,\,\,CD.$ Gọi $K,\,\,L,\,\,M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AF,\,\,CE,\,\,BF,\,\,DE.$

a) Chứng minh rằng tứ giác $KLMN$ là một hình bình hành.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $KM,\,\,LN.$ Chứng minh rằng $E,\,\,I,\,\,F$ thẳng hàng.

Cho ba điểm phân biệt I, A, B và số thực k ≠ 1 thoả mãn $\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {IB}$. Chứng minh rằng với O là điểm bất kì ta có:

$\overrightarrow {OI}  = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB}$ (*)

Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm của tam giác ABD.

Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG}$.

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0$.

Biết $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a$. Gọi C là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AB}$. Chọn khẳng định đúng.