Chỉ ra hai phân thức bằng nhau trong các phân thức sau: $\frac{{x + 1}}{x};\frac{{{x^2} - x}}{{{x^2}}};\frac{{{x^2} + x}}{{{x^2}}}$

a)  Viết lại phân thức $\frac{{3{x^3}{y^3}}}{{6{x^2}y}}$ bằng cách chia đơn thức $3{x^3}{y^3}$ cho đơn thức $6{x^2}y.$ Từ đó so sánh hai phân thức $\frac{{3{x^3}{y^3}}}{{6{x^2}y}}$ và $\frac{{x{y^2}}}{2}.$

b) So sánh $3{x^3}{y^3}.2$ và $6{x^2}y.x{y^2}$

Giả sử tổng chi phí để làm ra $x$ sản phẩm của xưởng sản xuất là A và ${C_1}\left( x \right) = 100x + 150$( đơn vị: nghìn đồng) và tổng chi phí để làm ra $\left( {x + 1} \right)$ sản phẩm của xưởng sản xuất B là ${C_2}\left( x \right) = 100\left( {x + 1} \right) + 150$ ( đơn vị: nghìn đồng).

a) Viết biểu thức tính chi phí trung bình để làm ra một sản phẩm của mỗi xưởng sản xuất.

b) Các chi phí trung bình nêu ở câu a có bằng nhau không?

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng minh rằng:

a) $\frac{{4x}}{{9y}} = \frac{{12{x^2}{y^3}}}{{27x{y^4}}}$

b)$\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 9}}$

c) $\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x + 4}}$

d)$\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}} = x + y$

Chứng minh rằng:

a)     $\frac{{27{m^4}{n^5}}}{{36{m^5}{n^4}}} = \frac{{3n}}{{4m}}$

b)    $\frac{{1 - x}}{{x + 5}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5 - x} \right)}}{{{x^2} - 25}}$

c)     $\frac{{{x^2} - 6xy + 9{y^2}}}{{8xy - 24{y^2}}} = \frac{{x - 3y}}{{8y}}$

d)    $\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{7x - 7y}} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{7}$

Chứng minh rằng mỗi cặp phân thức sau bằng nhau.

a) $\frac{{6a{b^2}}}{{9{a^3}b}}$ và $\frac{{2b}}{{3{a^2}}}$;

b) $\frac{{2y - 2x}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}$ và $\frac{2}{{y - x}}$;

c) $\frac{{{a^2} + ab}}{{2{b^2} + 2ab}}$ và $\frac{{2ab}}{{4{b^2}}}$.

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy giải thích vì sao có thể viết:

a) $\frac{{{x^2}{y^3}}}{{2{x^2}{y^2}}} = \frac{y}{2}$

b) $\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$

c) $\frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{{x^3} + 27}} = \frac{1}{{x + 3}}$

Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?

a) $\frac{x}{{5x + 5}}$ và $\frac{1}{5}$

b) $\frac{{ - x}}{{x - 5}}$ và $\frac{{ - x\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}$

c) $\frac{{ - 5}}{{ - x - y}}$ và $\frac{5}{{x + y}}$

d) $\frac{{ - x}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$ và $\frac{x}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}$

Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? 

$\frac{1}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{1 - x}}{{1 - {x^3}}}$

Các kết luận sau đây đúng hay sai? Vì sao?

$a)\frac{{ - 6}}{{ - 4y}} = \frac{{3y}}{{2{y^2}}}$

$b)\frac{{x + 3}}{5} = \frac{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}{{5{\rm{x}}}}$

$c)\frac{{3{\rm{x}}\left( {4{\rm{x}} + 1} \right)}}{{16{{\rm{x}}^2} - 1}} = \frac{{ - 3{\rm{x}}}}{{1 - 4{\rm{x}}}}$

Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. $\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{2 - x}}$

B. $\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

C. $\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

D. $\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( { - x - 2} \right)}^2}}}$

Khẳng định nào sau đây là sai:

A. $\frac{{ - 6{\rm{x}}}}{{ - 4{{\rm{x}}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{2{\rm{x}}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

B. $\frac{{ - 5}}{{ - 2}} = \frac{{10{\rm{x}}}}{{4{\rm{x}}}}$

C. $\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}$

D. $\frac{{ - 6{\rm{x}}}}{{ - 4{{\left( { - x} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{2{\rm{x}}{{\left( { - x + 2} \right)}^2}}}$

Trong hằng đẳng thức $\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{4{\rm{x}} - 1}} = \frac{{8{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}}}{Q}$, Q là đa thức

A.4x

B. $4{{\rm{x}}^2}$

C.16x−4

D. $16{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}}$

Cho phân thức $\frac{A}{B}$ với $B \ne 0$. Nhận định nào sau đây là đúng?

Giải thích vì sao hai phân thức sau bằng nhau: $\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}$ và $\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$.

Phân thức nào sau đây bằng phân thức $\frac{{16{x^4} - 1}}{{12{x^3} - 3x}}$?

A. $\frac{{4{x^2} - 1}}{{3x}}$

B. $\frac{{4{x^2} + 1}}{{3x}}$

C. $\frac{{4{x^2} - 1}}{{4x - 3}}$

D. $\frac{{4{x^2} + 1}}{{4 - 3x}}$

Phân thức $\frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ bằng phân thức nào sau đây?

A. $\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$.

B. $\frac{{ - x - 1}}{{x + 1}}$.

C. $\frac{{ - x - 1}}{{x - 1}}$.

D. $\frac{{1 - x}}{{ - x - 1}}$.

Các kết luận sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) $\frac{{ - 6}}{{ - 4y}} = \frac{{3y}}{{2{y^2}}};$

b) $\frac{{x + 3}}{5} = \frac{{{x^2} + 3x}}{{5x}};$

c) $\frac{{3x(4x + 1)}}{{16{x^2} - 1}} = \frac{{ - 3x}}{{1 - 4x}}$.

Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. $\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{2 - x}}$

B. $\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

C. $\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

D. $\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left( { - x - 2} \right)}^2}}}$

Trong hằng đẳng thức $\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{4{\rm{x}} - 1}} = \frac{{8{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}}}{Q}$, Q là đa thức

A. 4x

B. $4{{\rm{x}}^2}$

C. 16x − 4

D. $16{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}}$

Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là: