Cho hàm số $y = {x^4} + 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng $4\sqrt 2 $ là
-
A.
$m = \sqrt[3]{3}$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = \pm \sqrt[{}]{3}$
-
D.
$m = 5$
- Bước 1: Tính $y'$.
- Bước 2: Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ tạo thành tam giác cân tại $A$ có diện tích ${S_0}$ cho trước$ \Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC$ với $H$ là trung điểm của $BC$.
- Bước 3: Kết luận.
\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} + 4\left( {1 - {m^2}} \right)x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4\left( {1 - {m^2}} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + 1 - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {{m^2} - 1} \end{array} \right.\end{array}\)
Điều kiện để hàm số có $3$ cực trị: \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow A\left( {0;m + 1} \right)\\x = - \sqrt {{m^2} - 1} \Rightarrow y = {\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} } \right)^4} + 2\left( {1 - {m^2}} \right){\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} } \right)^2} + m + 1\\ \Rightarrow y = {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} - 2{\left( {{m^2} - 1} \right)^2} + m + 1 = - {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} + m + 1\\ \Rightarrow B\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} ; - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1} \right)\\x = \sqrt {{m^2} - 1} \Rightarrow C\left( {\sqrt {{m^2} - 1} ; - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_C}} \right|.\left| {HC} \right| = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_C}} \right|.\left| {{x_C}} \right| = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {m + 1 + {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} - m - 1} \right|.\sqrt {{m^2} - 1} = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^2}.\sqrt {{m^2} - 1} = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^5} = 32 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 2 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \end{array}\)
\(m = \pm \sqrt 3 \) thỏa mãn điều kiện\(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + x - 1$ có cực đại và cực tiểu.
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = - {x^4} + 2m{x^2}$ có $3$ điểm cực trị ?
Cho hàm số $y = 2{x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} - 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có $1$ điểm cực trị là:
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 3m + 2} \right)x + 3$ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 3mx + 1.$ Tìm $m$ để hàm số có $2$ điểm cực trị nhỏ hơn $2$
Tìm $m$ để $({C_m})$ : $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2$ có $3$ điểm cực trị là $3$ đỉnh của một tam giác vuông cân.
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 3m + 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + m.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc ${120^o}$ là:
Hãy lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$
Cho hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx.$ Tìm $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A, B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với $d:\,x - y - 9 = 0$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số $g\left( x \right)$ xác định theo $f\left( x \right)$ có đạo hàm $g'\left( x \right) = f\left( x \right) + m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)$ có duy nhất một cực trị.
Cho hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6$ với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$.
Cho hàm số $y = 2{x^3} + m{x^2} - 12x - 13$ với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn khoảng cách từ chúng đến trục tung bằng nhau.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^2} - 2\) với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,{\rm{ }}B\) sao cho \(I\left( {1;0} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
Gọi \({m_0}\) là giá trị của \(m\) thỏa mãn đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + mx - 5}}{{{x^2} + 1}}\) có hai điểm cực trị \(A,B\) sao cho đường thẳng \(AB\) đi qua điểm\(I\left( {1; - 3} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m} \right|\) (với \(m\) là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + mx + 2m}}{{x + 1}}\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) và tam giác \(OAB\) vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là:
